DOI: https://doi.org/10.15388/namc.2024.29.34706
تاريخ النشر: 2024-02-26
المؤلف: Inzamamul Haque وآخرون
الموضوع الرئيسي: تحليل المعادلات التفاضلية غير الخطية
نظرة عامة
تستكشف هذه المقالة البحثية قابلية التحكم في معادلات التفاضل الكسرية ψ-Hilfer مع تأخير غير محدود. يستنتج المؤلفون شروطًا كافية لقابلية التحكم باستخدام مقياس عدم التماسك ونظرية نقطة الثابت لمونش، مع التركيز على المشتق الكسرى ψ-Hilfer، وهو تعميم لمشتق هيلفر. يتم تقديم مثال عددي لإظهار قابلية تطبيق النتائج الرئيسية.
في الختام، يحدد الدراسة نتائج قابلية التحكم لنظام تفاضلي كسري يتميز بالمشتق الكسرى ψ-Hilfer، باستخدام معايير التماسك الضعيف وتقنيات من نظرية المجموعات وحساب التفاضل الكسرى. تمتد النتائج إلى مجموعة متنوعة من المشتقات الكسرية الأخرى، كما هو ملخص في الجدول 1، وتقترح طرقًا محتملة للبحث المستقبلي، بما في ذلك قابلية التحكم في معادلات التفاضل الكسرية (k, ψ)-Hilfer مع تأخير غير محدود. تسهم النتائج في فهم قابلية التحكم في الأنظمة التفاضلية الكسرية وتضع الأساس لمزيد من الاستكشاف في هذا المجال.
مقدمة
تسلط مقدمة هذه الورقة البحثية الضوء على أهمية حساب التفاضل الكسرى في تعزيز النماذج الرياضية التي تصف الاستجابات الديناميكية للأنظمة البيولوجية لمختلف المحفزات. تؤكد على فائدة المشتقات الكسرية، وخاصة المشتق الكسرى هيلفر، الذي يدمج مشتقات ريمان-ليوفييل ومشتقات كابوتو، مما يجعله أداة قوية لتحليل الظواهر الواقعية. كما تقدم الورقة “المشتق الكسرى ψ-Hilfer”، وهو تعميم يسمح بمرونة أكبر في النمذجة من خلال تمكين اختيار النواة $\psi$، مما يسهل استعادة المعادلات التفاضلية الكسرية التي تم دراستها سابقًا.
تناقش الورقة مفهوم قابلية التحكم في نظرية التحكم الرياضية، وخاصة في سياق المعادلات التفاضلية الكسرية. تستعرض الأدبيات الموجودة حول شروط قابلية التحكم للأنظمة غير الخطية وتبرز التقدمات الأخيرة التي لا تعتمد على تماسك المشغلين. يهدف المؤلفون إلى استكشاف قابلية التحكم في معادلات التفاضل الكسرية ψ-Hilfer مع تأخير غير محدود، مقدمين شروطًا كافية لهذا السيناريو باستخدام مقاييس عدم التماسك. تم هيكلة الورقة لتحديد المقدمات الضرورية أولاً، تليها إقامة شروط قابلية التحكم، وتختتم بمثال توضيحي.
نقاش
في هذا القسم، يحدد المؤلفون المفاهيم الأساسية والنتائج المتعلقة بقابلية التحكم في نظام تفاضلي كسري يتميز بالمشتق الكسرى ψ-Hilfer مع تأخير غير محدود. يعرفون مساحات الدوال المختلفة، بما في ذلك الدوال المستمرة والقابلة للاشتقاق، ويقدمون مفهوم فضاء باناش للدوال المعرفة على الفترات. يقدم المؤلفون عدة تعريفات ونتائج تتعلق بالتكاملات والمشتقات الكسرية، بما في ذلك مشتقات ريمان-ليوفييل ومشتقات كابوتو، والتي تعتبر أساسية لتحليلهم.
تشمل النتائج الرئيسية صياغة شروط كافية لقابلية التحكم في النظام، موضحة من خلال فرضيات تتعلق بالحدود والقابلية للقياس للخرائط. يستخدم المؤلفون مقياس عدم التماسك لإظهار أن النظام قابل للتحكم على فترة محددة إذا تم استيفاء بعض المتباينات المتعلقة بالمشغلين ودوال التحكم. يختتمون بمثال توضيحي يؤكد قابلية تطبيق نتائجهم النظرية، مؤكدين على الإمكانية لتوسيع نتائجهم لتشمل معادلات تفاضلية كسرية أخرى في الأبحاث المستقبلية. تسهم هذه العمل بشكل كبير في فهم قابلية التحكم في الأنظمة التي تحكمها حساب التفاضل الكسرى، وخاصة في سياق التأخيرات غير المحدودة.
DOI: https://doi.org/10.15388/namc.2024.29.34706
Publication Date: 2024-02-26
Author(s): Inzamamul Haque et al.
Primary Topic: Nonlinear Differential Equations Analysis
Overview
This research article investigates the controllability of ψ-Hilfer fractional differential equations with infinite delay. The authors derive sufficient conditions for controllability using the measure of noncompactness and the Mönch fixed point theorem, focusing on the ψ-Hilfer fractional derivative, a generalization of the Hilfer derivative. A numerical example is provided to demonstrate the applicability of the main findings.
In conclusion, the study establishes controllability results for a fractional differential system characterized by the ψ-Hilfer fractional derivative, employing weak compactness criteria and techniques from semigroup theory and fractional calculus. The results extend to various other fractional derivatives, as summarized in Table 1, and suggest potential avenues for future research, including the controllability of (k, ψ)-Hilfer fractional differential equations with infinite delay. The findings contribute to the understanding of controllability in fractional differential systems and lay the groundwork for further exploration in this area.
Introduction
The introduction of this research paper highlights the significance of fractional calculus in enhancing mathematical models that describe the dynamic responses of biological systems to various stimuli. It emphasizes the utility of fractional derivatives, particularly the Hilfer fractional derivative, which integrates the Riemann-Liouville and Caputo derivatives, making it a robust tool for analyzing real-world phenomena. The paper also introduces the “ψ-Hilfer fractional derivative,” a generalization that allows for greater flexibility in modeling by enabling the selection of the kernel $\psi$, thus facilitating the recovery of previously studied fractional differential equations.
The paper addresses the concept of controllability in mathematical control theory, particularly in the context of fractional differential equations. It reviews existing literature on controllability conditions for nonlinear systems and highlights recent advancements that do not rely on the compactness of operators. The authors aim to explore the controllability of ψ-Hilfer fractional differential equations with infinite delay, presenting sufficient conditions for this scenario using measures of noncompactness. The paper is structured to first outline necessary preliminaries, followed by the establishment of controllability conditions, and concludes with an illustrative example.
Discussion
In this section, the authors establish foundational concepts and results pertinent to the controllability of a fractional differential system characterized by the ψ-Hilfer fractional derivative with infinite delay. They define various function spaces, including continuous and differentiable functions, and introduce the concept of a Banach space for functions defined on intervals. The authors present several definitions and lemmas related to fractional integrals and derivatives, including the Riemann-Liouville and Caputo derivatives, which are essential for their analysis.
The main findings include the formulation of sufficient conditions for the controllability of the system, articulated through hypotheses that involve boundedness and measurability of mappings. The authors utilize a measure of noncompactness to demonstrate that the system is controllable on a specified interval if certain inequalities involving the operators and control functions are satisfied. They conclude with an illustrative example that confirms the applicability of their theoretical results, emphasizing the potential for extending their findings to other fractional differential equations in future research. This work contributes significantly to the understanding of controllability in systems governed by fractional calculus, particularly in the context of infinite delays.