DOI: https://doi.org/10.1186/s13661-024-01863-1
تاريخ النشر: 2024-06-26
المؤلف: Hacen Serrai وآخرون
الموضوع الرئيسي: تحليل المعادلات التفاضلية غير الخطية
نظرة عامة
تبحث هذه الدراسة في نتائج جديدة تتعلق بمعادلة ستورم-ليوفيل-لانجفين العامة الكسرية (FGSLL)، باستخدام مشتق كابوتو الكسرية Ψ مع حجة معدلة. يثبت المؤلفون تفرد الحلول من خلال مبدأ انكماش باناش، مستخدمين معيار من نوع Ψ-بيليكي. بالإضافة إلى ذلك، يطبقون نظريات النقاط الثابتة من نوع ليراي-شودر وكراسنوفسكي لإثبات وجود الحلول مع تخفيف بعض الشروط الصارمة.
تستكشف الدراسة أيضًا استقرار هذه الحلول من خلال استخدام عدم المساواة العامة من نوع جرونوال لمعالجة مفاهيم الاستقرار لألام-هايرز (UH)، وألام-هايرز العامة (GUH)، وألام-هايرز-راسياس (UHR)، وألام-هايرز-راسياس العامة (GUHR). لتوضيح قابلية تطبيق نتائجهم الرئيسية، يقدم المؤلفون ثلاثة أمثلة تشمل حالات متنوعة من مشكلة FGSLL، بما في ذلك ستورم-ليوفيل من نوع كابوتو، ولانجفين من نوع كابوتو، ومشاكل لانجفين من نوع كابوتو-إرديلي-كوبير.
مقدمة
تسلط مقدمة ورقة البحث الضوء على الاهتمام المتزايد في المعادلات التفاضلية الكسرية (FDEs) عبر مختلف التخصصات العلمية، بما في ذلك الفيزياء، وعلم الأحياء، والهندسة. تشير الفقرة إلى التطور الأخير لمشتق كابوتو الكسرية Ψ بواسطة ألميدا، والذي حفز المزيد من الاستكشاف في المشغلين الكسرين العامين وتطبيقاتهم. ركز الباحثون على وجود، وتفرد، واستقرار الحلول لمعادلات FDEs، خاصة فيما يتعلق بمعادلة لانجفين، التي تصف ظواهر مثل الحركة البراونية. تؤكد الورقة على أهمية استخدام مشتقات كسرية مختلفة لتأسيس نتائج الاستقرار لمشاكل القيمة الحدية غير الخطية (BVPs).
يقدم المؤلفون مشكلة ستورم-ليوفيل-لانجفين العامة الكسرية (FGSLL)، المميزة بمشتق كسرية محددة وظروف حدودية. يوضحون كيف تشمل هذه المشكلة أشكالًا كلاسيكية متنوعة، مثل مشاكل ستورم-ليوفيل من نوع كابوتو ومشاكل ستورم-ليوفيل من نوع كابوتو-إرديلي-كوبير، اعتمادًا على اختيار الدالة Ψ. تم هيكلة الورقة لتقديم التعريفات والليمات أولاً، تليها التحقيقات في وجود وتفرد الحلول، ثم نتائج الاستقرار باستخدام نظريات النقاط الثابتة. تمهد المقدمة الطريق لتحليل شامل لمشكلة FGSLL وآثارها في مجال الحساب الكسرية.
النتائج
في هذا القسم، يطبق المؤلفون نظرية النقطة الثابتة لكراسنوفسكي لإثبات نتائج الوجود للمشكلة المطروحة. يبدأون بمراجعة نظرية أرسلا-أسكولي، التي توفر معايير لمدى تجميع مجموعات الدوال، ونظرية كراسنوفسكي، التي تعتبر أداة أساسية في إثبات وجود النقاط الثابتة في بعض فضاءات الدوال. بعد ذلك، يقدم المؤلفون نتائجهم الرئيسية، موضحين كيف يمكن استخدام هذه الأطر النظرية لاشتقاق نتائج الوجود لحلول المشاكل الرياضية المعنية.
بالإضافة إلى ذلك، يستدعي المؤلفون نظرية البديل غير الخطي ليراي-شودر، التي تعتبر أداة محورية في تحليل المشغلين غير الخطيين. يوضحون آثار النظرية ويقدمون بعد ذلك نتائجهم الرئيسية المستمدة من تطبيقها. لا تعزز هذه الطريقة المنظمة الأساس النظري لعملهم فحسب، بل تبرز أيضًا أهمية هذه النظريات في إثبات وجود الحلول في سياق بحثهم.
المناقشة
في هذا القسم، يعيد المؤلفون زيارة المفاهيم والأدوات الأساسية المتعلقة بالتكامل والتفاضل الكسرية Ψ-ريمان-ليوفيل (R-L)، بالإضافة إلى مشتق كابوتو الكسرية Ψ. يقدمون تعريفات لهذه المشغلين، والتي تعتبر حاسمة لتحليل المعادلات التفاضلية الكسرية. من الجدير بالذكر أنهم يثبتون عدة ليمات تبرز خصائص هذه المشغلين الكسرين، بما في ذلك حدودها والشروط التي بموجبها تعطي نتائج محددة، مثل المساواة \( I^{\mu}_{\Psi} C D^{\alpha}_{\Psi} \phi(z) = \phi(z) \) للدوال المستمرة.
يناقش القسم أيضًا تفرد الحلول لمشكلة المعادلة التفاضلية الكسرية (FGSLL) باستخدام مبدأ انكماش باناش. يوضح المؤلفون أنه تحت ظروف معينة، فإن التحويل \( N \) المحدد على كرة مغلقة في فضاء باناش هو انكماش، مما يضمن وجود نقطة ثابتة فريدة، والتي تتوافق مع الحل الفريد للمشكلة. علاوة على ذلك، يمددون نتائجهم إلى الحالات التي تختفي فيها دوال معينة، مما يضمن وجود حلول لمشاكل ذات صلة. تدعم النتائج ببرهان صارم وعدم المساواة التي تعزز الإطار النظري الذي تم تأسيسه في التعريفات والليمات السابقة.
DOI: https://doi.org/10.1186/s13661-024-01863-1
Publication Date: 2024-06-26
Author(s): Hacen Serrai et al.
Primary Topic: Nonlinear Differential Equations Analysis
Overview
This research investigates new findings related to the fractional generalized Sturm-Liouville-Langevin (FGSLL) equation, utilizing the Ψ-Caputo fractional derivative with a modified argument. The authors establish the uniqueness of solutions through the Banach contraction principle, employing a Ψ-Bielecki-type norm. Additionally, they apply fixed-point theorems of the Leray-Schauder and Krasnoselskii types to demonstrate the existence of solutions while relaxing certain stringent conditions.
The study further explores the stability of these solutions by employing a generalized Gronwall-type inequality to address Ulam-Hyers (UH), generalized Ulam-Hyers (GUH), Ulam-Hyers-Rassias (UHR), and generalized Ulam-Hyers-Rassias (GUHR) stability concepts. To illustrate the applicability of their main results, the authors present three examples that encompass various cases of the FGSLL problem, including Caputo-type Sturm-Liouville, Caputo-type Langevin, and Caputo-Erdélyi-Kober-type Langevin problems.
Introduction
The introduction of the research paper highlights the growing interest in fractional differential equations (FDEs) across various scientific disciplines, including physics, biology, and engineering. The section notes the recent development of the Ψ-Caputo fractional derivative by Almeida, which has spurred further exploration into generalized fractional operators and their applications. Researchers have focused on the existence, uniqueness, and stability of solutions to FDEs, particularly in relation to the Langevin equation, which describes phenomena such as Brownian motion. The paper emphasizes the significance of using different fractional derivatives to establish stability results for nonlinear boundary value problems (BVPs).
The authors introduce the fractional generalized Sturm-Liouville-Langevin (FGSLL) problem, characterized by a specific fractional derivative and boundary conditions. They outline how this problem encompasses various classical forms, such as the Caputo-type and Caputo-Erdélyi-Kober-type Sturm-Liouville problems, depending on the choice of the function Ψ. The paper is structured to first present definitions and lemmas, followed by investigations into the existence and uniqueness of solutions, and then stability results using fixed point theorems. The introduction sets the stage for a comprehensive analysis of the FGSLL problem and its implications in the field of fractional calculus.
Results
In this section, the authors apply Krasnoselskii’s fixed point theorem to establish existence results for the problem at hand. They begin by reviewing the Arzelà-Ascoli theorem, which provides criteria for the compactness of sets of functions, and the Krasnoselskii theorem, which is instrumental in proving the existence of fixed points in certain function spaces. Following this, the authors present their primary findings, demonstrating how these theoretical frameworks can be utilized to derive existence results for the solutions of the considered mathematical problems.
Additionally, the authors invoke the Leray-Schauder nonlinear alternative theorem, which is a pivotal tool in the analysis of nonlinear operators. They outline the theorem’s implications and subsequently present their main results derived from its application. This structured approach not only reinforces the theoretical foundation of their work but also highlights the significance of these fixed point theorems in establishing the existence of solutions within the context of their research.
Discussion
In this section, the authors revisit essential concepts and tools related to the Ψ-Riemann-Liouville (R-L) fractional integral and derivative, as well as the Ψ-Caputo fractional derivative. They provide definitions for these operators, which are crucial for analyzing fractional differential equations. Notably, they establish several lemmas that highlight properties of these fractional operators, including their boundedness and the conditions under which they yield specific results, such as the equality \( I^{\mu}_{\Psi} C D^{\alpha}_{\Psi} \phi(z) = \phi(z) \) for continuous functions.
The section also discusses the uniqueness of solutions to the fractional differential equation (FGSLL) problem using the Banach contraction principle. The authors demonstrate that under certain conditions, the mapping \( N \) defined on a closed ball in a Banach space is a contraction, ensuring the existence of a unique fixed point, which corresponds to the unique solution of the problem. Furthermore, they extend their findings to cases where specific functions vanish, guaranteeing the existence of solutions for related problems. The results are supported by rigorous proofs and inequalities that reinforce the theoretical framework established in the earlier definitions and lemmas.